1. Aljabar Boolean




Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika DAN, ATAU dan TIDAK dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.
Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.
Aljabar Boolean dapat digunakan untuk menganalisa suatu rangkaian logika dan mengekspresikan operasinya secara matematik. Suatu rangkaian dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan teorema Boolean tertentu. Ekspresi Boolean yang lebih sederhana ini dapat menggantikan ekspresi aslinya, karena nilainya yang ekivalen. Contohnya : rangkaian dengan persamaan logika
   dapat disederhanakan menjadi , dengan menggunakan teorema-teorema Boolean. Di dalam teorema tersebut, variabel dapat bernilai 0 atau 1.Dibawah ini akan dijelaskan teorema-teorema tersebut, yaitu :
• Teorema 1
Setiap variabel apabila di AND kan dengan 0, hasilnya harus sama dengan 0. Hal itu sesuai dengan table kebenaran dari gerbang AND, yaitu apabila salah satu input bernilai 0, maka output akan menjadi 0.
X • 0 = 0
• Teorema 2
Setiap variabel apabila di AND kan dengan 1,maka hasilnya adalah variabel tersebut.
X • 1 = X
• Teorema 3
Dapat dibuktikan dengan mencoba tiap-tiap kasus.Apabila x = 0, maka 0∙0 = 0; apabila x = 1, maka 1∙1 = 1
X • X = X
• Teorema 4
Apabila  suatu variabel di AND kan dengan inverse variabel tersebut, maka hasilnya 0
       X • X’ = 0
• Teorema 5
Apabila 0 di OR kan dengan variabel dengan nilai apapun, maka hasilnya adalah variabel tersebut.
X + 0 = X
• Teorema 6
Apabila suatu variabel di OR kan dengan 1, maka hasilnya akan selalu 1. Kita dapat mengingat bahwa output gerbang OR akan sama dengan 1 apabila salah satu input bernilai 1, tanpa memandeng harga input yang lain.
X + 1 = 1
• Teorema 7
Dapat dibuktikan dengan memeriksa untuk kedua harga x. 0 + 0 = 0 dan 1 + 1 = 1.
X + X = X
• Teorema 8
Apabila suatu variabel di OR kan dengan inverse variabel tersebut, maka nilainya 1
X + X’ = 1
Variabel X pada teorema 1 sampai dengan 8 dapat menyatakan suatu ekspresi yang mengandung lebih dari satu variable.

Teorema Multivariabel
• Teorema 9 : X + Y = Y + X
• Teorema 10 : X • Y = Y • X
Teorema 9 dan 10 disebut hukum-hukum komutatif. Hukum ini menunjukkan bahwa urutan dalam menjumlah atau mengalikan dua variable tidak penting, karena hasilnya akan sama.

• Teorema 11 : X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
• Teorema 12 : X (YZ) = (XY) Z = XYZ
Teorema 11 dan 12 disebut hukum-hukum asosiatif, yang menyatakan bahwa kita dapat mengelompokkan term-term dari suatu penjumlahan atau suatu perkalian secara bebas, karena hasilnya akan sama.

• Teorema 13 : X(Y + Z) = XY + XZ
• Teorema 14 : (W + X)(Y + Z) = WY + XY + WZ + XZ
Teorema 13 dan 14 disebut hukum distributif, yang menyatakan bahwa suatu ekspresi dapat dijabarkan dengan mengalikan term demi term persis sama seperti dalam aljabar biasa.

• Teorema 15 : X + X’Y = X + Y (sifat absorpsi)
• Teorema 16 : X + XY = X (sifat reduksi)
Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 6 dan 2 :
X + XY = X(1 + Y)
 = X • 1   (memakai teorema 6)
 = X         (memakai teorema 2)
• Teorema 17 :
▪ Teorema 18 :
• Teorema 19 : AB + AC + BC’ = AC + BC’
• Teorema 20 : (A+B)(A+C)(B+C) = (A+C) (B+C)


Contoh Soal :
1.     Sederhanakan persamaan dibawah ini dengan menggunakan teorema Aljabar Boolean

Jawaban


2.     Sederhanakan persamaan dibawah ini dengan menggunakan teorema Aljabar Boolean

Jawaban




2. Diagram Venn



Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variabel dalam aljabar boolean adalah dengan  menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variabel yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variabel tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.Diagram venn hanya cocok apabila jumlah variabelnya tidak lebih dari 3, karena bila lebih dari 3 variabel akan sulit menghitungnya.
3.2.1. Diagram Venn 2 Variabel










Contoh Soal
1.      Sederhanakan dengan diagram venn:

Jawaban
       









3.2.2. Diagram Venn 3 Variabel


Dalam lingkaran itu tampak tiga lingkaran yang bertumpang tindih, satu untuk masing-masing variable A, B dan C. dengan demikian dimungkinkan untuk membedakan delapan daerah yang terpisah dalam diagram venn dengan variable itu. Dalam hal ini hukum distributif dibuktikan dengan menunjukan bahwa daerah yang memotong lingkaran A dengan daerah yang meliputi B atau C adalah daerah yang sama yang dimiliki oleh AB atau A.



Contoh Soal :
1. Sederhanakan soal berikut dengan diagram venn:

       





Jawaban